|
Elektrischer Schwingkreis 3 Funktionelle
Betrachtung - Differentialgleichung Ungedämpfter
elektrischer Schwingkreis Vorbemerkungen Wir kommen jetzt zur Betrachtung des
Verlaufes der Stromstärke und der Spannung beim ungedämpften Schwingkreis.
Hierzu müssen wir eine Differentialgleichung lösen. Im Kapitel
2 haben wir im Zusatzteil schon die DGL aus dem Energieerhaltungssatz
hergeleitet. In diesem Kapitel geht es um den üblichen Weg, nämlich
die Maschenregel. Es wird eine einfache Herleitung der Lösung
der DGL durchgeführt, die auch für die Oberstufe geeignet ist. Herleitung
DGL Wir benutzen die Maschenregel in der Form:
Summe aller Quellen- spannungen = Summe aller
Spannungsabfälle. Die Selbstinduktions- spannung einer Spule gilt als
Quellenspannung. Die Masche besteht im ungedämpften Schwingkreis nur aus
Kondensator und Spule. Also folgt:
Wir erhalten also eine DGL für die
Ladungsmenge auf dem Kondensa- tor. In der DGL kommt
die Ableitung in zweiter Ordnung vor. Es handelt sich also um eine homogene lineare
DGL 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine
Lösung sollte man in üblichen Büchern zur Lösung von DGLs
nachsehen. In unserem Fall fehlt die 1. Ordnung, so dass
die Gleichung auch durch einfache Überlegungen zu lösen ist.
Die Funktion für den Schwingungszustand der
Ladungen auf dem Kondensator ist also eine Kosinus-Funktion.
Diese erfüllt auf jeden Fall die DGL. Außerdem gewinnen wir auch die Thomsonsche Schwingungsformel wieder. Da zwischen Q(t) und I(t) bzw. Uc(t) = Uind(t)
Zusammenhänge be- stehen (s. Herleitung der DGL 3. und 4.Zeile), gelangt man jetzt
auch zu den Funktionen für die Stromstärke und die
Spannungen.
Man kann auch noch etwas zur
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung sagen.
Die Stromstärke eilt also der Spannung um
π/2 voraus. Die Graphen für Spannung und Stromstärke haben also
folgendes Aussehen: 1. Graph gegen den Winkel
2. Graph gegen die
Zeit (f = 2 Hz)
In folgendem Video kann man die
Phasenverschiebung von ca. π/2 gut erkennen. (Hinweis: Im Video liegt eine
gedämpfte Schwingung vor) zurück zu Kapiteln aus dem Wechselstromkreis: weiter zum
nächsten Kapitel zurück zur Übersicht „Wechselstromkreis“ |
